شکل بالا چگونگی ترسیم یک خط راست با استفاده از دو دایره را نشان می دهد.
جفت طوسی ، عنوان جدید سازوکاری که خواجه نصیرالدین طوسی (597 672) ابداع کرد و به صورت بخشی از نظریه سیاره‌ای بدیع خویش به کاربرد. در نجوم دوره اسلامی، این سازوکار را با نام عربی اصل‌الکبیرة و الصغیرة و نام فارسی دایره بزرگ و دایره خرد (نصیرالدین طوسی، 1335 ش الف، ص 8) می‌شناختند. ظاهراً نخستین‌بار قطب‌الدین شیرازی (متوفی 710) در نهایة الادراک، اصطلاح عربی مذکور را به کار برده است ( رجوع کنید به موریسون، ص 30). اما عبارت «جفت طوسی» را نخستین‌بار ادوارد کندی در مقاله‌ای در 1966/1345 ش مطرح کرد ( رجوع کنید به ص 89). این سازوکار، در ساده‌ترین طرح خود (خطی یا مستقیم‌الخط)، از دو دایره تشکیل یافته است که یکی در درون دیگری قرار دارد و می‌تواند نقطه‌ای را در طول یک خط راست به نوسان در آورد. طرح دیگرِ (منحنی‌الخط) جفتِ طوسی به صورتی طراحی شده بود که بتواند همین نوسان را بر سطح یک کره و در طول کمانی از دایره عظیمه آن ایجاد کند.
پیشینه تاریخی. از نظر تاریخی، جفت طوسی به جریانی باز می‌گردد که از سده پنجم، و با انتقاد اخترشناسان اسلامی از الگوهای سیاره‌ای بطلمیوس *، آغاز گشت. ابوعلی حسن‌بن هیثم (354ـ430) در اثر مهم خویش، الشکوک علی بطلمیوس، به نقد الگوهای بطلمیوس پرداخت و چنین استدلال کرد که این الگوها حرکتهای نامنظمی ایجاد می‌کنند که در چارچوب طبیعیات آسمانی مرسوم ــ که بر اساس آن، حرکت هر جسم آسمانی توسط اجسام کروی شکل دارای حرکتِ دورانی یکنواخت (افلاک)، صورت می‌پذیرد جایی ندارند. نظیر چنین استدلالی را می‌توان در آثار معاصران ابن‌هیثم، چون ابوریحان بیرونی و ابوعُبید جوزجانی (شاگرد ابن‌سینا)، نیز یافت. در دوران متأخرتر اسلامی، این بی‌نظمیها را با عنوان اِشکالات شانزده‌گانه می‌شناختند، که شش اِشکال آن به حرکتهای نامنظم ماه و سیارات مربوط می‌شد که بر اثر حرکت فلک حامل (که فلک تدویر خویش را به حرکت در می‌آورد) با سرعت یکنواخت، حول نقاطی ایجاد می‌شد که خارج از مرکز آن قرار داشت (در مورد سیاره‌ها این نقاط را معدّل‌المسیر می‌نامیدند)؛ نُه اِشکال به سازوکارهایی مربوط می‌شد که بطلمیوس آنها را برای ایجاد تغییرات عرضی در حرکت سیارات (یعنی حرکت سیارات در بالا و پایین دایرهالبروج) به‌کار برده بود؛ و آخرین اشکال نیز به قطر فلک تدویر ماه مربوط می‌شد که امتداد آن، به جای آنکه بر مرکز فلک حامل قرار گیرد، بر نقطه‌ای به نام نقطه محاذات قرار می‌گرفت (نصیرالدین طوسی، 1993، ج 1، مقدمه رجب، ص 48ـ51).
خواجه نصیرالدین طوسی برای نخستین بار قصد خویش را در پرداختن به این مشکلات در اثری به نام الرسالة المعینیة و در آغاز دوران فعالیت علمی خویش بیان کرد. این کتاب که به زبان فارسی و در سال 632 نوشته شد، یکی از چند کتابی بود که خواجه نصیرالدین زمانی که در دربار ناصرالدین محتشم، حاکم اسماعیلی ولایت قهستان، به سر می‌برد نوشت. این اثر در زمره آثاری از علم هیئت به شمار می‌رفت که پیشینه آنها به کتاب الاقتصاص (یا کتاب المنشورات ) بطلمیوس بازمی‌گشت. در جهان اسلام این نوع آثار چشم‌اندازی کلی از علم نجوم را از دیدگاه هیئت به دست می‌دادند، بی‌آنکه به برهانهای هندسی گسترده‌ای که در مجسطی بطلمیوس آمده بود بپردازند.
مقدمه الرسالة المعینیة مبانی ریاضی و فیزیکی نجوم را بیان می‌کند، سپس در بخشی طولانی به هیئت می‌پردازد. در پی آن، بخشی به ساختار جهان زیرفلک قمر، و آخرین بخش به اندازه‌ها و فاصله‌های تمامی اجرام فیزیکی عالم اختصاص دارد. در بخشهای راجع به ماه (مقاله دوم، باب پنجم) و سیارات عُلْوی و زهره (مقاله دوم، باب ششم) و عطارد (مقاله دوم، باب هفتم)، طوسی انتقادهای منجمان دوره اسلامی پیش از خود را بر نظریه بطلمیوس در باب حرکت سیارات، تکرار کرده و سپس افزوده است که راه‌حل این اشکالات را بعداً در فرصت مناسبی عرضه خواهد کرد (نصیرالدین طوسی، 1335 ش ب ، ص 31). این تأییدی است بر تقدم زمانی حل مشکلات معینیه (که ذیل معینیه نیز خوانده می‌شد) در معرفی طرح خطی. این رساله کوچک، که در نُه فصل و اغلب به صورت پیوست رساله معینیه نوشته شده، به احتمال زیاد اندکی پس از رساله معینیه نگارش یافته است. در فصل سوم، راه‌حلی که در رساله معینیه وعده داده شده بود، با این عنوان آمده است: «در حل شکی که بر حرکت مرکز تدویر ماه بر محیط حامل و تشابه آن حرکت بر حوالی مرکز عالم واردست» (همو، 1335 ش الف، ص 6). این نخستین بار بود که طرح خطی جفت طوسی برای حل حرکت طولی ماه معرفی می‌شد. در پایان فصل، طوسی به اختصار چگونگی استفاده از این راه‌حل را برای دیگر سیاره‌ها شرح داده است. بنابراین، طوسی در اینجا، برای شش اِشکالِ راجع به حرکت در طول، راه‌حلهایی عرضه کرده است ( رجوع کنید به رجب، 2000).
اما در حل مشکلات معینیه نشانی از حالت منحنی‌الخط نمی‌یابیم، بلکه در فصل پنجم این رساله، طوسی راه‌حلی از ابن‌هیثم، برای رفع اشکالات نظریه‌های بطلمیوس در مورد عرض سیاره‌ها، معرفی کرده است. راه‌حل ابن‌هیثم در اصل مبتنی بر افزودن دو فلک هم‌مرکز دیگر به فلک تدویر است، به صورتی که فلکهای افزوده شده محورهای متفاوتی داشته باشند و در جهتهای مخالف گردش کنند تا بتوانند «دوایر کوچک» بطلمیوس را به‌وجود آورند؛ دوایری که هدف از طرح آنها در مجسطی پدید آوردن عرض سیاره یا به تعبیر دیگر، تعیین موقعیت سیاره در شمال و جنوب دایرة البروج است. استفاده از چنین سازوکاری، که در آن دو کره (فلک) مماس بر هم در جهتهای مختلف دوران می‌کنند، بسیار شبیه به سازوکاری است که ائودوکسوس اهل کنیدوس در سده چهارم پیش از میلاد به کار برده است. در التذکرة فی علم الهیئة(تألیف در 659)، طوسی طرح منحنی‌الخط جفت دایره‌های خویش را، به عنوان صورت تغییر شکل یافته‌ای از مدل ابن‌هیثم، معرفی کرده؛ اما، در حل مشکلات معینیه ، آن را بدون هیچگونه شرحی صرفاً عرضه نموده است ( رجوع کنید به نصیرالدین طوسی، 1335 ش الف ، ص 7ـ9). این نشان می‌دهد که وی در هنگام نوشتن حل مشکلات معینیه تنها طرح خطی را در نظر داشته و هنوز به الگوی منحنی نزدیک نشده بوده است. نخستین اشاره به طرح دوم (منحنی‌الخط) را در تحریر مجسطی (تألیف 644) می‌یابیم، که در آن طرح مختصری از این مدل ارائه شده است ( رجوع کنید به بطلمیوس، گ 86 پ ـ 87 ر). نمایش کامل‌تر هر دو صورت خطی و منحنی در باب دوم، فصل یازدهم تذکره ، آمده است. این اثر زمانی نوشته شد که طوسی در مراغه برای فرمانروایان مغول کار می‌کرد ( رجوع کنید به نصیرالدین طوسی، 1993، ج 1، ص 194ـ223).
سازوکار جفت طوسی. اینک به دو طرح مختلف جفت طوسی، چنان که در تذکره آمده است، می‌پردازیم. در طرح اول، که نوسان خطی یک نقطه را نمایش می‌دهد (شکل 1)، کره‌ای با استوای ABG با سرعت زاویه‌ای ثابتی (a) دوران می‌کند. کره دیگر با استوای GED ، که قطر آن نصف ABG است، درون کره اول و مماس بر آن در نقطه G قرار دارد. کره دوم با سرعت زاویه‌ای دو برابر کره اول و در جهت خلاف آن (یعنی a2-) گردش می‌کند. طوسی ثابت کرده که یک نقطه مفروض بر روی GED (نقطه E در شکل)، به صورت خطی در طول قطر استوای کره بزرگ‌تر حرکت رفت و برگشتی خواهد داشت (همان، ج 1، ص 194ـ200، 348ـ351، ج 2، شرح رجب، ص 427ـ 438).
در طرح بعدی جفت طوسی یا شکل منحنی‌الخط آن (شکل 2)، سه کره هم‌مرکز داریم: کره‌ای بزرگ با محور HT ، کره‌ای کوچک با محور EZ که درون کره بزرگ‌تر جای دارد، و یک فلک تدویر با محور AB که درون کره کوچک جای دارد. کره بزرگ‌تر با سرعت زاویه‌ای ثابت (?) می‌چرخد، که در نتیجه آن کره کوچک و فلک تدویر حول محور HT به چرخش در خواهند آمد. ضمناً کره کوچک با سرعتی دوبرابر سرعت زاویه‌ای کره بزرگ‌تر در جهت مخالف آن (?2-) می‌چرخد. از نظر طوسی، این ترکیب حرکتها، نقطه‌ای بر روی فلک تدویر را به نوسان بین A و G بر روی کمان دایره عظیمه AG وا می‌دارد (شکل 3). عملاً نوسان روی مسیری به شکل 8 به صورت باریک، کشیده، و نوک تیز خواهد بود، اما اختلاف بین آن و کمانی از یک دایره عظیمه بسیار ناچیز است، و این چیزی بود که اخلاف طوسی بدان پی بردند ( رجوع کنید به همان، ج 1، ص 218ـ221، ج 2، شرح رجب، ص 453ـ 455). گذشته از استفاده از طرح منحنی‌الخط برای حل مشکلاتِ مربوط به عرضِ سیاره‌ها در مدلهای بطلمیوس و نیز مشکل نقطه محاذات ماه، طوسی همچنین پیشنهاد کرده است که این الگو برای تقدیم اعتدالین و تغییرات دوره‌ای میل دایره البروج، در صورتی که به آنها به عنوان پدیده‌هایی واقعی نگریسته شود، نیز به کار رود ( رجوع کنید به همان، ج 1، ص222ـ 223، ج 2، شرح رجب، ص 456).
طوسی آگاه بود که سازوکارهای وی نمی‌توانند مدلهای بطلمیوس را دقیقاً بازسازی کنند یا تمامی اشکالات هیئت وی را برطرف سازند. مهم‌تر از همه، آنکه، وی نتوانست الگویی برای حرکتهای پیچیده عطارد پیشنهاد کند. وی همچنین این نکته را دریافته بود که مسیری که مراکز فلک تدویر سیاره‌ها بر اساس الگوهای سیاره‌ای وی ایجاد می‌کنند، بر خلاف الگوهای بطلمیوسی که مستدیرند، بیضی‌وارهای ناهمگون‌اند. در مورد مریخ، که بیشترین ناهمگونی را دارد، دو الگوی طوسی و بطلمیوس اختلافی در حد 14 دقیقه کمان خواهند داشت ( رجوع کنید به همان، ج 1، ص 206ـ209، ج 2، شرح رجب، ص 443ـ 448). در طرح منحنی‌الخط، طوسی اظهار داشته که الگوهای او میلهای متقارنی را برای عرض سیاره و نیز نوسان نقطه محاذات ماه (هم در مقدار و هم در زمان) ایجاد خواهند کرد، که این ناقض الگوهای بطلمیوس است (1993، ج 1، ص220ـ223، ج 2، شرح رجب، ص 455ـ456). گفتنی است که مدلهای سیاره‌ای طوسی چندان هم به صرفه نیستند؛ طوسی به 67 فلک نیاز داشت در حالی که بطلمیوس در کل 22 فلک صلب را به کار برده بود (همان، ج 1، مقدمه رجب، ص 51 53).
این دستاورد خواجه نصیرالدین طوسی از جنبه‌های گوناگون حائز اهمیت است. سازوکارهای وی به او اجازه داد که نخستین بدیل جامع (هرچند ناکامل) را برای مدلهای سیاره‌ای بطلمیوس فراهم آورد (در شکل 4 مدل وی برای سیارات عُلْوی و زهره آمده است). با نشان دادن اینکه می‌توان الگوهایی را در اختیار داشت که هم به اصول فیزیکی و هم به اصول ریاضی وفادار باشند، وی سبب شد که نگرشی مثبت در باره نوعی هیئت ریاضی و همگون به وجود آید. سازوکارهای وی همچنین روش مؤثری برای پرداختن به جنبه‌های مختلف حرکتهای سیاره‌ای به صورت مستقل از یکدیگر به دست داد. برای نمونه، بر اساس طرح خطی، طوسی می‌توانست تغییرات در فاصله مرکز تدویر از زمین را، مستقل از حرکت دورانی آن، حول زمین ایجاد کند، و این در مقایسه با نظریه بطلمیوس پیشرفت مهمی به شمار می‌رفت. با طرح منحنی‌الخط، وی می‌توانست ثأثیرات حرکت در عرض را با نوسانی در طول کمانی از دایره عظیمه فرضی محدود کند، در حالی که بطلمیوس ناگزیر بود برای حل نظریه عرضی سیاره‌ها، به دوایر کوچک، که سبب اختلال در حرکت طولی سیاره می‌شد، تکیه کند (همان، ج 2، شرح رجب، ص 449ـ450).
الگوهای طوسی تأثیر عمیقی بر تاریخ نجوم گذاشت. این تأثیر نخست در کارهای شاگرد و همکار وی، قطب‌الدین شیرازی و ابن‌شاطر دمشقی (706ـ707)، بروز یافت و پس از آن نیز تقریباً در تمامی نوشته‌های نجوم نظری، تألیف شده تا سده سیزدهم، در سرزمینهای شرقی اسلامی تأثیر نهاد ( > دایرة المعارف تاریخ علوم عربی <، ج 1، ص 93ـ100). از دیدگاه فرهنگی نیز جفت طوسی با راه یافتن به متون سنسکریت و بیزانسی و نیز آثار چندین اخترشناس دوره نوزایی، از جمله کپرنیک (1473ـ1543 م)، پیامدهایی داشته است ( > نجوم عربی به زبان سنسکریت <، ص 7ـ 8؛ سوردلو و نویگه باوئر، ج 1، ص 47ـ 48). کپرنیک هر دو شکل خطی و منحنی جفت طوسی را در یکی از نخستین آثار انتشار نیافته‌اش به نام >شرحی مختصر بر فرضیه حرکتهای آسمانی و نظم حاکم بر آنها < (برای مدار و عرض عطارد) به کار برد. در اثر معروف دیگرش، به نام > گردش افلاک آسمانی <، هم بار دیگر الگوی جدید را برای عطارد، عرض سیارات، حرکت اعتدالین و تغییرات دوره‌ای میل دایره البروج به کار گرفت.
Arabic astronomy in Sanskrit: A l-Birjandi on Tadhkira II, chapter 11 and its Sanskrit translation , edited, commented and translated by Takanori Kusuba & David Pingree, Leiden: Brill, 2002; Encyclopedia of the history of Arabic science , ed. Roshdi Rashed, London: Routledge, 1996, s.v. "Arabic planetary theories after the eleventh century AD" (by George Saliba); Edward S. Kennedy, "Late medieval planetary theory", Isis , vol.57 (1966), repr.in Edward S. Kennedy, Studies in the Islamic exact sciences , Beirut 1983; R. Morrison, "Qutb al-Din Shirazi"s hypotheses for celestial motions", Journal for the history Arabic science , vol. 13 (2005); Muhammad b. Muhammad Nasir al-Din Tusi, Nasir al-Din al-Tusis memoir on astronomy = A l-Tadhkira fiilm al-hay"a , ed. and tr. F. J. Ragep, New York 1993; F. Jamil Ragep, "The Persian context of the Tusi Couple", in Nasir al-Din al-Tusi: philosophe et savant du XIII e siecle , ed. N. Pourjavady and Z. Vesel, Tehran: Institut francais de recherche en Iran, 2000; N. M. Swerdlow and O. Neugebauer, Mathematical astronomy in Copernicus"s de revolutionibus , New York 1984.
